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docs/01 Getting started/07 Transformations.md
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@@ -40,6 +40,10 @@ $$
其中的+可以是+，-，·或÷，其中·是乘号。注意－和÷运算时不能颠倒（标量-/÷向量），因为颠倒的运算是没有定义的。
!!! note "译注"
注意，数学上是没有向量与标量相加这个运算的，但是很多线性代数的库都对它有支持（比如说我们用的GLM）。如果你使用过numpy的话，可以把它理解为[Broadcasting](https://numpy.org/doc/1.18/user/basics.broadcasting.html)。
## 向量取反
对一个向量取反(Negate)会将其方向逆转。一个指向东北的向量取反后就指向西南方向了。我们在一个向量的每个分量前加负号就可以实现取反了（或者说用-1数乘该向量）:
@@ -178,6 +182,10 @@ $$
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \color{green}3 = \begin{bmatrix} 1 - \color{green}3 & 2 - \color{green}3 \\ 3 - \color{green}3 & 4 - \color{green}3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
!!! note "译注"
注意，数学上是没有矩阵与标量相加减的运算的，但是很多线性代数的库都对它有支持（比如说我们用的GLM）。如果你使用过numpy的话，可以把它理解为[Broadcasting](https://numpy.org/doc/1.18/user/basics.broadcasting.html)。
矩阵与矩阵之间的加减就是两个矩阵对应元素的加减运算，所以总体的规则和与标量运算是差不多的，只不过在相同索引下的元素才能进行运算。这也就是说加法和减法只对同维度的矩阵才是有定义的。一个3×2矩阵和一个2×3矩阵（或一个3×3矩阵与4×4矩阵）是不能进行加减的。我们看看两个2×2矩阵是怎样相加的：
$$
@@ -190,6 +198,7 @@ $$
\begin{bmatrix} \color{red}4 & \color{red}2 \\ \color{green}1 & \color{green}6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \color{red}2 & \color{red}4 \\ \color{green}0 & \color{green}1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{red}4 - \color{red}2 & \color{red}2 - \color{red}4 \\ \color{green}1 - \color{green}0 & \color{green}6 - \color{green}1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{red}2 & -\color{red}2 \\ \color{green}1 & \color{green}5 \end{bmatrix}
$$
## 矩阵的数乘
和矩阵与标量的加减一样，矩阵与标量之间的乘法也是矩阵的每一个元素分别乘以该标量。下面的例子展示了乘法的过程：
@@ -230,7 +239,7 @@ $$
我们用一个更大的例子来结束对矩阵相乘的讨论。试着使用颜色来寻找规律。作为一个有用的练习，你可以试着自己解答一下这个乘法问题，再将你的结果和图中的这个进行对比（如果用笔计算，你很快就能掌握它们）。
$$
\begin{bmatrix} \color{red}4 & \color{red}2 & \color{red}0 \\ \color{green}0 & \color{green}8 & \color{green}1 \\ \color{blue}0 & \color{blue}1 & \color{blue}0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \color{red}4 & \color{green}2 & \color{blue}1 \\ \color{red}2 & \color{green}0 & \color{blue}4 \\ \color{red}9 & \color{green}4 & \color{blue}2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{red}4 \cdot \color{red}4 + \color{red}2 \cdot \color{red}2 + \color{red}0 \cdot \color{red}9 & \color{red}4 \cdot \color{green}2 + \color{red}2 \cdot \color{green}0 + \color{red}0 \cdot \color{green}4 & \color{red}4 \cdot \color{blue}1 + \color{red}2 \cdot \color{blue}4 + \color{red}0 \cdot \color{blue}2 \\ \color{green}0 \cdot \color{red}4 + \color{green}8 \cdot \color{red}2 + \color{green}1 \cdot \color{red}9 & \color{green}0 \cdot \color{green}2 + \color{green}8 \cdot \color{green}0 + \color{green}1 \cdot \color{green}4 & \color{green}0 \cdot \color{blue}1 + \color{green}8 \cdot \color{blue}4 + \color{green}1 \cdot \color{blue}2 \\ \color{blue}0 \cdot \color{red}4 + \color{blue}1 \cdot \color{red}2 + \color{blue}0 \cdot \color{red}9 & \color{blue}0 \cdot \color{green}2 + \color{blue}1 \cdot \color{green}0 + \color{blue}0 \cdot \color{green}4 & \color{blue}0 \cdot \color{blue}1 + \color{blue}1 \cdot \color{blue}4 + \color{blue}0 \cdot \color{blue}2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \color{red}4 & \color{red}2 & \color{red}0 \\ \color{green}0 & \color{green}8 & \color{green}1 \\ \color{blue}0 & \color{blue}1 & \color{blue}0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \color{red}4 & \color{green}2 & \color{blue}1 \\ \color{red}2 & \color{green}0 & \color{blue}4 \\ \color{red}9 & \color{green}4 & \color{blue}2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{red}4 \cdot \color{red}4 + \color{red}2 \cdot \color{red}2 + \color{red}0 \cdot \color{red}9 & \color{red}4 \cdot \color{green}2 + \color{red}2 \cdot \color{green}0 + \color{red}0 \cdot \color{green}4 & \color{red}4 \cdot \color{blue}1 + \color{red}2 \cdot \color{blue}4 + \color{red}0 \cdot \color{blue}2 \\ \color{green}0 \cdot \color{red}4 + \color{green}8 \cdot \color{red}2 + \color{green}1 \cdot \color{red}9 & \color{green}0 \cdot \color{green}2 + \color{green}8 \cdot \color{green}0 + \color{green}1 \cdot \color{green}4 & \color{green}0 \cdot \color{blue}1 + \color{green}8 \cdot \color{blue}4 + \color{green}1 \cdot \color{blue}2 \\ \color{blue}0 \cdot \color{red}4 + \color{blue}1 \cdot \color{red}2 + \color{blue}0 \cdot \color{red}9 & \color{blue}0 \cdot \color{green}2 + \color{blue}1 \cdot \color{green}0 + \color{blue}0 \cdot \color{green}4 & \color{blue}0 \cdot \color{blue}1 + \color{blue}1 \cdot \color{blue}4 + \color{blue}0 \cdot \color{blue}2 \end{bmatrix}
\\ = \begin{bmatrix} 20 & 8 & 12 \\ 25 & 4 & 34 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}
$$
@@ -293,7 +302,7 @@ $$
**齐次坐标(Homogeneous Coordinates)**
向量的w分量也叫<def>齐次坐标</def>。想要从齐次向量得到3D向量，我们可以把x、y和z坐标分别除以w坐标。我们通常不会注意这个问题，因为w分量通常是1.0。使用齐次坐标有几点好处：它允许我们在3D向量上进行位移（如果没有w分量我们是不能位移向量的），而且下一章我们会用w值创建3D视觉效果。
如果一个向量的齐次坐标是0，这个坐标就是<def>方向向量</def>(Direction Vector)，因为w坐标是0，这个向量就不能位移（译注：这也就是我们说的不能位移一个方向）。
有了位移矩阵我们就可以在3个方向(x、y、z)上移动物体，它是我们的变换工具箱中非常有用的一个变换矩阵。
@@ -307,10 +316,10 @@ $$
!!! Important
大多数旋转函数需要用弧度制的角，但幸运的是角度制的角也可以很容易地转化为弧度制的：
- 弧度转角度：`角度 = 弧度 * (180.0f / PI)`
- 角度转弧度：`弧度 = 角度 * (PI / 180.0f)`
`PI`约等于3.14159265359。
转半圈会旋转360/2 = 180度，向右旋转1/5圈表示向右旋转360/5 = 72度。下图中展示的2D向量\(\color{red}{\bar{v}}\)是由\(\color{green}{\bar{k}}\)向右旋转72度所得的：
@@ -352,7 +361,7 @@ $$
!!! note "译注"
对四元数的理解会用到非常多的数学知识。如果你想了解四元数与3D旋转之间的关系，可以来阅读我的[教程](https://krasjet.github.io/quaternion/)。如果你对万向节死锁的概念仍不是那么清楚，可以来阅读我教程的[Bonus章节](https://krasjet.github.io/quaternion/bonus_gimbal_lock.pdf)。
现在3Blue1Brown也已经开始了一个四元数的视频系列，他采用球极平面投影(Stereographic Projection)的方式将四元数投影到3D空间，同样有助于理解四元数的概念（仍在更新中）：[https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg](https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg)
## 矩阵的组合
@@ -409,7 +418,7 @@ vec = trans * vec;
std::cout << vec.x << vec.y << vec.z << std::endl;
```
我们先用GLM内建的向量类定义一个叫做`vec`的向量。接下来定义一个`mat4`类型的`trans`，默认是一个4×4单位矩阵。下一步是创建一个变换矩阵，我们是把单位矩阵和一个位移向量传递给`glm::translate`函数来完成这个工作的（然后用给定的矩阵乘以位移矩阵就能获得最后需要的矩阵）。
我们先用GLM内建的向量类定义一个叫做`vec`的向量。接下来定义一个`mat4`类型的`trans`，默认是一个4×4单位矩阵。下一步是创建一个变换矩阵，我们是把单位矩阵和一个位移向量传递给`glm::translate`函数来完成这个工作的（然后用给定的矩阵乘以位移矩阵就能获得最后需要的矩阵）。
之后我们把向量乘以位移矩阵并且输出最后的结果。如果你仍记得位移矩阵是如何工作的话，得到的向量应该是(1 + 1, 0 + 1, 0 + 0)，也就是(2, 1, 0)。这个代码片段将会输出`210`，所以这个位移矩阵是正确的。
我们来做些更有意思的事情，让我们来旋转和缩放之前教程中的那个箱子。首先我们把箱子逆时针旋转90度。然后缩放0.5倍，使它变成原来的一半大。我们先来创建变换矩阵：
@@ -417,7 +426,7 @@ std::cout << vec.x << vec.y << vec.z << std::endl;
```c++
glm::mat4 trans;
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0, 0.0, 1.0));
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(0.5, 0.5, 0.5));
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(0.5, 0.5, 0.5));
```
首先，我们把箱子在每个轴都缩放到0.5倍，然后沿z轴旋转90度。GLM希望它的角度是弧度制的(Radian)，所以我们使用`glm::radians`将角度转化为弧度。注意有纹理的那面矩形是在XY平面上的，所以我们需要把它绕着z轴旋转。因为我们把这个矩阵传递给了GLM的每个函数，GLM会自动将矩阵相乘，返回的结果是一个包括了多个变换的变换矩阵。
@@ -430,7 +439,7 @@ layout (location = 0) in vec3 aPos;
layout (location = 1) in vec2 aTexCoord;
out vec2 TexCoord;
uniform mat4 transform;
void main()
@@ -486,4 +495,4 @@ trans = glm::rotate(trans, (float)glfwGetTime(), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));
## 练习
- 使用应用在箱子上的最后一个变换，尝试将其改变为先旋转，后位移。看看发生了什么，试着想想为什么会发生这样的事情：[参考解答](https://learnopengl.com/code_viewer.php?code=getting-started/transformations-exercise1)
- 尝试再次调用<fun>glDrawElements</fun>画出第二个箱子，**只**使用变换将其摆放在不同的位置。让这个箱子被摆放在窗口的左上角，并且会不断的缩放（而不是旋转）。（`sin`函数在这里会很有用，不过注意使用`sin`函数时应用负值会导致物体被翻转）：[参考解答](https://learnopengl.com/code_viewer_gh.php?code=src/1.getting_started/5.2.transformations_exercise2/transformations_exercise2.cpp)
- 尝试再次调用<fun>glDrawElements</fun>画出第二个箱子，**只**使用变换将其摆放在不同的位置。让这个箱子被摆放在窗口的左上角，并且会不断的缩放（而不是旋转）。（`sin`函数在这里会很有用，不过注意使用`sin`函数时应用负值会导致物体被翻转）：[参考解答](https://learnopengl.com/code_viewer_gh.php?code=src/1.getting_started/5.2.transformations_exercise2/transformations_exercise2.cpp)